Rodrigo Mora debutó en 2007 en Juventud Las Piedras y contó con continuidad pese a estar dando sus primeros pasos en el fútbol, ya que en su primer temporada disputó 27 partidos y anotó cinco goles. Su buen rendimiento le permitió arribar a uno de los equipos más importantes de Uruguay, Defensor Sporting, en 2008.

Tras un año jugando para el Tuerto, Mora fue dado a préstamo a Cerro por 6 meses en 2010 y cumplió una buena labor, marcando 10 tantos en 18 partidos. A mitad de año retornó a Defensor Sporting y disputó la Copa Sudamericana en la cual se equipo se despidió del certamen en octavos de final. Sin embargo, Mora finalizó segundo en la tabla de goleadores con 6 conquistas.

Comenzando el 2011, Defensor Sporting le ofreció la renovación del contrato, que finalizaba al culminar la temporada, pero el delantero rechazó el ofrecimiento ya que había arreglado con el Benfica para marcharse al fútbol europeo. Por esa razón, no fue tenido en cuenta por su equipo durante el campeonato y finalmente se marchó libre a Portugal.

En su nuevo club no consiguió continuidad y solamente disputó tres encuentros para las Águilas, por lo que fue cedido a Peñarol en donde marcó en 11 goles en 21 encuentros con la camiseta aurinegra. Luego de 6 meses su préstamo finalizó pero Benfica decidió cederlo nuevamente, esta vez a River Plate.

Con el Millonario rápidamente se ganó el respeto del hincha siendo el goleador del equipo en el Torneo Inicial 2012 con 6 tantos. Además, logró marcarle a Boca en su primer Superclásico en el empate 2-2 en el Monumental. Gracias a su buen rendimiento, el uruguayo fue comprado por River luego de que su préstamo finalizara pero en el próximo mercado de pases se marchó cedido a la Universidad de Chile ya que no estaba entre las prioridades de Ramón Díaz, entrenador de la Banda por ese entonces.

En el conjunto chileno solamente consiguió marcar un tanto ante Guaraní de Paraguay por la Copa Libertadores de chilena luego de controlar la pelota con el pecho. No fue el mejor año para la U, que fue 12° en la liga y no tuvo buenos resultados, lo que le impidió a Mora mostrar su mejor versión.

En su regreso a River se reencontró con su nivel y en su primer semestre se consagró campeón de la Copa Sudamericana del 2014, siendo el goleador del equipo con cuatro tantos. Además, jugó en el 2015 de la mejor manera, siendo fundamental para el Millonario al ser quien más goles convirtió sumando todas las competencias del año. El logro más importante fue la obtención de la Copa Libertadores tras vencer a Tigres de México en la final por 3-0.

El uruguayo continuó desempeñándose en River sin problemas hasta que en mayo de 2017 acusó un dolor en la espalda, por lo que en principio reposó y realizó trabajos de kinesiología. No obstante, la incomodidad no cesó y luego de que se le hicieran estudios más complejos, se constató que sufría de una necrosis aséptica en el fémur, que es la obstrucción de una arteria que nutre a la cabeza del hueso que articula con la cadera.

Debido a eso fue operado y permaneció el resto del año en recuperación utilizando muletas durante un tiempo prolongado. El 28 de enero de 2018 contra Huracán Mora volvió a vestir la camiseta de River de manera oficial y poco menos de un mes después, llegó su primera conquista ante Godoy Cruz. Además, se dio el gusto de convertir por la Copa Libertadores frente a Flamengo y posteriormente levantar el trofeo luego de la coronación en Madrid tras ganarle la final a Boca.

Sin embargo, antes de comenzar la pretemporada de cara a los desafíos del 2019, Mora anunció su retiro de la actividad profesional por no haberse recuperado de su lesión en la cadera, ya que los dolores continuaron e impidieron que el normal desempeño del delantero a la hora de jugar o de entrenarse. Así, Mora se despide del fútbol, con dos Libertadores como sus logros principales y ganándose el cariño del simpatizante de River.